Diketahui deret geometri tak hingga \(u_1+u_2+u_3+ \cdots \). Jika rasio deret tersebut adalah \(r\) dengan \( -1 < r < 1 \), \( u_2+u_4+u_6 + \cdots = 4 \) dan \( u_2 + u_4 = 3 \), maka nilai \(r^2\) adalah….
- \( \frac{1}{4} \)
- \( \frac{1}{3} \)
- \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \frac{1}{2} \)
- \( \frac{3}{4} \)
(Soal SBMPTN 2013)
Pembahasan:
Dari soal diketahui \( u_2+u_4+u_6+ \cdots = 4 \) yang berarti jumlah suku-suku genap adalah 4, sehingga berlaku:
\begin{aligned} S_\infty (\text{genap}) = \frac{ar}{1-r^2} \Leftrightarrow 4 &= \frac{ar}{1-r^2} \\[8pt] 4(1-r^2) &= ar \\[8pt] 4-4r^2 &= ar \\[8pt] u_2 + u_4 = 3 \Leftrightarrow ar+ar^3 &= 3 \\[8pt] (4-4r^2)+(4-4r^2)r^2 &= 3 \\[8pt] 4-4r^2+4r^2-4r^4 &= 3 \\[8pt] 4-4r^4 &= 3 \\[8pt] 4r^4 &= 1 \\[8pt] r^4 &= \frac{1}{4} \\[8pt] r^2 &= \frac{1}{2} \end{aligned}
Jawaban D.